数学建模：认识数学模型1数学与身边的数学-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1节 数学与身边的数学 我们知道，数学是研究（现实世界各种对象中的）数量关系与空间形式的一门科学．数学最引人注目的特点是它的思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性．这是在数学发展的漫长历程中逐渐形成的．数学来源于人们生产和生活的需要，是人们对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而形成的．它的出现为我们在更深的层次上认识世界提供了一条重要的途径．它抽象性和严谨性的特点也成为我们科学地认识和理解知识的一个有效的手段；而数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生产、生活和社会活动在定量方面向深层次发展奠定了基础．提到数学有用，人们往往会想到在科学发展的历史上，1846年天体观测关于海王星的发现以及1865年物理学关于电磁波的探索过程中，数学的思考和计算所起到的非常重要的作用．数学推动了科学的发展．近年来，从太空探索中人类对航天器的遥控到卫星对地面上人类活动的导航都离不开数学科学的支撑．但是这些与我们身边的日常生活距离都很远，致使在我们的日常生活中除了购物算账之外很难看到数学的踪迹，往往只把数学理解为训练人们科学思维的工具．之所以如此，是因为在日常生活现象中的数学规律一般隐藏在生活的深层，而我们观察到的是生活的表面，它的作用不容易被人们发现．另外，在应用中数学通常伴随着其他的学科一起出现在我们的生活中，看起来似乎与数学的关系不大，只有通过深入挖掘、探索才能将其中的数学元素发掘出来进行分析研究．下面我们给出几个例子来说明，这些例子来源于20多年来北京高中数学知识应用竞赛（简称应用竞赛）的试题，这个竞赛的试题都是发生在我们身边的数学问题． 例1.1.1 （第二届应用竞赛初赛第7题）某学校有块矩形空地，南北向长100 m，东西向宽90 m．学校打算用这块地修建一个包含4条宽为1 m的并排跑道，且内圈跑道周长为300 m的操场．请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案． 题目要求在给定的矩形空地上设计一个由4条宽度为1 m的跑道围成的操场．由于100 m×90 m的矩形较小，边界的长度为2×(100+90) m=380 m，无法容纳常规的400 m的跑道，因此要求操场跑道的内圈周长为300 m． 这是一个我们身边常见的问题，似乎并不复杂．首先在空地的四周各留出4 m的空间作为跑道．中间还留下92 m×82 m的矩形空间来设计跑道的内圈，这个矩形的周长为2×（92+82)m=348 m，大于300m ，是可以设计出300 m的跑道的． 很自然的想法就是仿照着标准操场的形状来设计跑道的内圈．我们知道标准跑道的内圈大约是“半圆加直道”，即由两条100m的直跑道和两条100 m的半圆跑道组成．现在我们的问题中预留的空间较小，不妨先在矩形的南北两端充分利用空间画两条直径为82 m的半圆．总的长度是3.14×82 m=257.48 m，在南北方向上除去两个半圆还留下的距离是92 m-82 m=10 m，可以安排两条直道．所得到的跑道的总长度是257.48 m+2×10m=277.48 m，不足300 m．这意味着在这里“半圆加直道”的设计方式是无法达到周长300m的要求的． 如果只要求跑道周长为300m，这不难做到：在这个矩形中隔出一个92m×58m的矩形，矩形的四周就可以达到300m周长的要求．这是“操场”吗？另外，随便在这个空间内画出一个300m长的圈也是可以的，但是不一定符合“操场”的要求．不少同学在这里出现了疑惑，问题是身边常见的，数学是极其简单的，怎么处理又是把握不住的． 问题在于对“操场”的理解．标准的操场到处都有，司空见惯，“半圆加直道”是人们的共识，也是人们对“操场”的一种表面的、直观的理解．一旦修建操场的条件发生了变化，“半圆加直道”无法实现时，设计操场这一看似简单的问题就会让人们不知所措． 首先需要解决的问题是要搞清楚为人们提供跑步运动的“操场”的要素是什么．根据人们的常识，在场地内必须能够开展跑步比赛的运动，因此，要进行短距离赛跑，直线的跑道是必需的；要进行长跑比赛，还需要有环形的跑道；由直跑道拼成的矩形跑道是不可以的，因为拐弯处不利于快速赛跑，弯道也是必需的，弯道的曲率不能太大，而且直道和弯道的衔接处必须是光滑相切的．在这些要求之下，最简单的设计方案就是把弯道选取为半径尽可能大的圆弧． 这样一来，我们就得到了用于跑步比赛的（不一定是规则的）操场的跑道的设计原则：必须要有直道和圆弧形的弯道，直道与弯道相切，圆弧的半径尽量大的简单封闭曲线．这就是操场跑道的数学模型，它是依靠归纳分析得出构成操场跑道的主要数学元素的． 根据上面的原则，这个操场跑道必然是：用四分之一的圆弧砍掉矩形的四个角的方法作为跑道的设计方案． 用表示圆弧的半径，为保持有100m跑道的空间，将南北向的长度固定，通过调节矩形东西向的长度来调节跑道的总长