湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高三上学期12月联考数学试卷

2023年宜荆荆随恩高三12月联考 高三数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z与复数都是纯虚数，是z的共轭复数，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 若展开式中的的系数为，则实数（ ） A. 8 B. 7 C. 9 D. 10 4. 已知函数的定义域为，满足．当时，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆E交于A、B两点，若的周长等于，则椭圆E的离心率等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等比数列，公比为q（），前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则下列关于该圆锥的结论正确的是（ ） A. 体积等于 B. 过顶点的截面面积最大值等于2 C. 外接球的体积等于 D. 内切球的表面积等于 10. 已知抛物线焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则周长最小值等于3 C. 若，则的最小值等于2 D. 若，则的最小值等于 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知平面向量，的夹角为，则________． 14. 已知圆，过点的直线l与圆O交于P、Q两点，则的最小值等于__________． 15. 在学校组织的数学建模大赛活动中，某兴趣小组的同学准备将一个直径为的实心球形木料锯成一个四棱锥模型，为节约资源，使损失的木料最少，则制作出来的四棱锥的体积等于__________． 16. 已知函数的图象经过原点，若在上恰好有3个不同实数使得对任意x都满足，且对任意，使得在上不是单调函数，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角C； （2）若的平分线交AB于点D，且，求的面积． 18. 已知等差数列前n项和为，． （1）求及； （2）判断是否存在正整m、k使得成等比数列若存在，求出所有m、k的值；若不存在，请说明理由． 19. 联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，以促进更多的人去阅读，享受阅读的乐趣．为建设读书校园，提升校园的读书氛围，市教育局准备在全市义务教育四年级至九年级学段开展“读书月”活动，活动前，为了解学生的阅读情况，从四年级至九年级在校学生中随机问卷调查了10000人，得到他们在过去一个月中平均每天课外的阅读时间t（单位：分钟），整理得到如右的频率分布直方图，已知这10000人的平均每天课外阅读时间的中位数是31． （1）求频率分布直方图中m、n值； （2）若为整数，将本次调查中平均每天课外阅读时间的学生选为“读书月”活动的宣传大使，教育局准备至少选出1500名“读书月”宣传大使，求的最大值； （3）为了进一步了解学生的课外阅读习惯受电子产品的影响，由频率分布直方图中平均阅读时间在和两组学生中，按人数比例分配的分层抽样方法抽取了100名学生，已知组的学生平均每天花在电子产品上的时间为30分钟，方差为36，组的学生平均每天花在电子产品上的时间为20分钟，方差为16，求抽取的100名学生每天花在电子产品上的时间的方差． 20. 如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面． （1）证明：； （2）点M满足，若二面角的余弦值为，求． 21. 已知函数． （1）若，判断函数的单调性； （2）若，证明：对任意． 22. 已知圆，点，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q，点Q的轨迹为曲线C．