专题03 空间向量数量积的应用（期末选择题3）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题03 空间向量数量积的应用（期末选择题3） （原卷版） 题型 空间向量数量积的应用 技巧： 工具1： 空间两个向量的夹角． 定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉， 那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。 工具2：利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 工具3：空间向量的长度。 1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：。 将其推广：； 。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。 工具4：空间向量的垂直。 若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b． 根据数量积的定义：⊥⇔·＝0 秒杀：可以极速建系进行秒写 形如1．已知正四面体的棱长为1，且，则（    ） A． B． C． D． 破解：因为，所以. 根据向量的减法法则，得， 所以 .故选：C. 形如2．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 破解：由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有    故选：C 形如3．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 破解：过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设正三棱柱的棱长为2， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B 1．如图，在楼长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论： ①当点E是BD中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 3．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 4．已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 5．平行六面体中，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四棱柱中，，，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 9．在平行六面体中，其中，则（    ） A．12 B． C．6 D． 10．已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知平行六面体的所有棱长都为1，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 13．如图，将边长为1的正方形沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为（    ）    A． B．3 C． D． 14．若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 15．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 17．已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 19．如图，在四面体中，，，，点为的重心，则的长是（    ）    A． B． C． D． 20．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ）    A． B． C． D．4 22．已知正四面体的棱长为1，的重心为G，则线