第9章 分式 章末整合提升-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①D　②A　③B　④G　⑤E　⑥H　⑦C　⑧F　 考点一　分式有(无)意义和值 为零的条件 分式的概念是本章的基础,正确理 解分式的概念是判断分式是否有意义、 分式值是否为零的基础．牢记: ①分式无意义⇔分母为零; ②分式有意义⇔分母不为零; ③分式值为零⇔分子为零,且分母不为零． 例１当x＝　　　　时,分式 x＋２ ３x－１ 无意 义;当x＝　　　　时, |x|－１ １－x 的值 为０． 解析:当３x－１＝０,即 x＝ １ ３ 时,分 式 x＋２ ３x－１ 无意义; ７７１ 因为分式 |x|－１ １－x 的值为０,所以|x|－ １＝０,且１－x≠０,解得x＝－１． 答案:１ ３　－１ @. 根据分式的值为０的条件求字母 取值时,不要忽视“分母不等于０”这 一条件． 考点二　分式的运算 分式的运算包括分式的加、减、乘、 除、乘方运算,这几种运算经常综合在一 起考查．在进行分式的运算时,要注意运 算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括 号的先进行括号里的运算．分式的运算结 果要化为最简分式或整式． 例２(湖北咸宁中考)a,b 互为倒数,代 数式a ２＋２ab＋b２ a＋b ÷ ( １ a＋ １ b ) 的值为 　　　　． 解析:原 式 ＝ (a＋b)２ a＋b ÷ a＋b ab ＝ (a＋ b)􀅰 ab a＋b＝ab． 因为a,b 互为倒数,所以a􀅰b＝１,所 以原式＝１． 答案:１  　　本题考查了分式的混合运算．分 式的混合运算要按照运算顺序进行, 能因式分解的分式要先因式分解,异 分母分式的加减一定要通分,除法运 算要转化为乘法运算． 考点三　分式的化简求值 分式的化简求值往往和方程、不等 式以及实数的性质相结合,实际上就是 先化简分式,再根据方程的解或不等式 中字母的取值范围或利用实数求出字母 的值,最后代入化简后的分式求得结果． 例３先化简,再求值: ( a２－b２ a２－２ab＋b２＋ a b－a)÷ b２ a２－ab ,其中 a,b满足 a＋１＋b－ １ ３ ＝０． 分析:先对括号里面的式子进行因式分 解和符号变换,同时对除式的分母进 行因式分解,进行化简,再由 a＋１＋ b－ １ ３ ＝０ ,得到a＝－１,b＝ １ ３ ,代入 求值． 解:原 式 ＝ (a－b)(a＋b) (a－b)２ － a a－b é ë ê ê ù û ú ú 􀅰 a(a－b) b２ ＝ b a－b 􀅰a (a－b) b２ ＝ a b． 因为 a＋１≥０,b－ １ ３ ≥０ ,且 a＋１＋ b－ １ ３ ＝０ , 所以a＋１＝０,b－ １ ３＝０． 所以a＝－１,b＝ １ ３． ８７１ 所以原式＝ －１ １ ３ ＝－３．  　　本题是分式的化简求值与非负数 的性质的结合,解题的关键是正确进 行分式的化简,并根据题意求出字母 的取值． 如果是与不等式结合的问题,一 定要注意解出不等式的解集后,检验 是否使原分式有意义． 考点四　分式求值中的常用方法 １．配方法与平方法 例４已知x２－５x＋１＝０,求 x２＋ １ x２ 的值． 分析:本题就目前的知识无法求出x 的 值,进而无法求出代数式的值,但观察 发现,由已知条件可得到x＋ １ x 的值, 通过对x２＋ １ x２ 进行配方可解决问题． 解:由x２－５x＋１＝０,知x≠０． 方程两边同除以x,得x－５＋ １ x＝０ , 即x＋ １ x＝５． 所以x２＋ １ x２＝ (x＋ １ x ) ２ －２ ＝５２－２ ＝２３． 　　在已知或由已知条件可求得x＋ １ x 的情况下,要求x２＋ １ x２ 的值,可用 配方法化为只含有x＋ １ x 的形式,然后 整体代入求值．本题也可以把x＋ １ x＝ ５两边平方后,通过公式变形求解． ２．倒数求值法 例５已知x＋ １ x＝－３ ,求 x x２＋x＋１ 的值． 分析:本题由已知条件在目前的知识水 平下无法求出x 的值,而且要求的代 数式也不能运用分式的基本性质进行 化简,通过观察,可以先取倒数,使问 题得以解决． 解:因为x＋ １ x＝－３ ,所以x≠０． 所以x ２＋x＋１ x ＝ x２ x＋ x x＋ １ x ＝x＋１＋ １ x ＝－３＋１ ＝－２, 所以 x x２＋x＋１＝－ １ ２． " 　　求分式的值,当直接求解比较麻 烦或不可能实现时,我们可以先求这 个分式的倒数的值,然后利用倒数的 意义求得结果． ９７１ ３．参数法 例６已知 a ２＝ b ３＝ c ４≠０ ,求a ２＋ab－c２ bc 的值． 分析:可设a ２＝ b ３＝ c ４＝k (k≠０),得到 a＝２k,b＝３k,c＝４k,然后代入化简 求值． 解:设a ２＝ b ３＝