7.4 综合与实践 排队问题-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

７．４　综合与实践　排队问题 知识点　排队问题 服务机构通常通过增加服务窗口来减少排队,但窗口 增加过多又会造成人力、物力的浪费,一般是根据顾 客可接受的排队等待时间来安排和调整其服务窗 口的． 既要使投入的资源较少,又要使顾客得到较满意的服 务,这就需要研究排队问题． 【例】加油站每次只能给一辆车加油,加满一辆卡车需要 ７min,加满一辆面包车需要４min,加满一辆轿车需 要２min．现有一辆卡车、一辆面包车和一辆轿车一起 来到加油站加油,为了使三辆车等候的时间总和最 少,应怎样安排加油的顺序? 最少的等候时间总和是 多少分钟? 解:把所有的加油顺序和每辆车的等候时间列表如下: 方案 加油顺序 卡车等候 时间/min 面包车等 候时间/min 轿车等候 时间/min 等候时间 总和/min １ 卡车→面包 车→轿车 ７ １１ １３ ３１ ２ 卡车→轿车 →面包车 ７ １３ ９ ２９ ３ 面包车→卡 车→轿车 １１ ４ １３ ２８ ４ 面包车→轿 车→卡车 １３ ４ ６ ２３ ５ 轿车→卡车 →面包车 ９ １３ ２ ２４ ６ 轿车→面包 车→卡车 １３ ６ ２ ２１ 对于实际问题,通过阅读理 解题意,找出题目的已知量 和所求量是求解的前提． ９６ 由表格可知,当加油顺序为轿车→面包车→卡车时,三 辆车等候的时间总和最少,最少的等候时间总和是 ２１min． 排队等候时间问题的解题步骤 第１步:认真审题,找出题中的已知量和未知量,以 及它们之间的关系． 第２步:列表表示出所有的排队顺序、每个个体等候 时间及等候时间总和． 第３步:结合表格得出实际问题的答案,并写出． 某公园的检票口,在开始 检票前已有一些人排队等 候,检票开始后,每分钟有 １０人前来排队检票,１个 检票口每分钟能让２５人 入内．如果只 开１个 检 票 口,检票开始８分钟后就 没有人排队;如果同时开 放２个检票口,那么检票 开始多少分钟后就没有人 排队? 题型　排队问题的应用 【例】春运期间,某长途汽车站以服务乘客为宗旨,随时根 据乘客流量,调整检票口的数量,尽量使乘客不在车站 滞留．一日,车站开始检票时,有a(a＞０)名乘客在候车 室排队等候检票进站,检票开始后,仍有乘客陆续前来 排队检票进站．设乘客按固定的速度增加,检票口检票 的速度也是固定的．若开放一个检票口,则需３０分钟才 能将排队等候检票的乘客全部检票完毕;若开放两个 检票口,则需１０分钟便可将排队等候检票的乘客全部 检票完毕;如果要在５分钟内将排队等候检票的乘客 全部检票完毕,以使后来到站的乘客能随到随检,至少 要同时开放几个检票口? 审题关键:阅读题目,理解题意,合理设出未知量,找出 未知量和所求量之间的关系是解答本题的关键． 破题思路:设出乘客的增加速度、检票的速度、至少开 放的检票口数n,根据题意列出二元一次方程组和 不等式,利用“设而不求”法表示出n,结合实际问题 的意义,得到问题的答案． ０７ 解:设乘客增加速度为x 人/分,检票的速度为y人/分, 至少要同时开放n 个检票口． 根据题意,得 a＋３０x＝３０y, a＋１０x＝２×１０y,{ ① ② 若要在５分钟内将排队等候检票的乘客全部检票 完毕,则可得a＋５x≤５ny, 解得n≥ a＋５x ５y ． 由①－②,得２０x＝１０y,即y＝２x, 再代入①,得a＝３０x． 所以a＋５x ５y ＝ ３０x＋５x １０x ＝３．５ , 所以n≥３．５． 又由题意,知n 为正整数,所以n 的最小值为４． 所以如果要在５分钟内将排队等候检票的乘客全 部检票完毕,以使后来到站的乘客能随到随检,至 少要同时开放４个检票口． ?  “设而不求”法解决排队问题 本题涉及二元一次方程组和一元一次不等式, 涉及的未知数比较多,但并不是每个未知数都需要 求出,这就需要我们大胆猜想,用设出的未知数表 示所求数,从而达到轻松解题的目的． 易错点　忽略自变量的实际意义 【例】一车站在检票前若干分钟就开始排 队,每分钟来的人数一样多．从开始检 票到队伍消失,同时开４个检票口要 ３０分钟,同时开５个检票口要２０分 钟,问同时开７个检票口,至少要多少 分钟? 解:设开始检票前有旅客a 人等候检 票,旅客增加的速度为x 人/分,每个 检票口检票的速度为y 人/分,同时 开７个检票口要n 分钟． 根据题意,得 １７ a＋３０x＝３０×４y, a＋２０x＝２０×５y．{ ① ② 同时开７个检票口,若要从开始检 票到 队 伍 消 失,则 可 得a＋xn≤ ７yn,解得n≥ a ７y－x ． 由①－②,得１０x＝２０y,即x＝２y． 将x＝２y 代入①,得a＝６０y． 所以 a ７y－x ＝１２,即n≥１２． 由题意,知n 为正整数,所以n 的最 小值为１２． 所以同时开７个检