2024届高三数学二轮复习微重点突破练7：球的切接问题

微重点突破练7 球的切接问题 1.如图，在三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，则该三棱锥外接球的体积为(　　) A．12π B．4π C. D. 2．(2023·成都模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝AP，BC⊥CA，若三棱锥P－ABC外接球的表面积为5π，则BC等于(　　) A．1 B. C. D. 3．在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为边长为1的等边三角形，底面ABCD为矩形．若四棱锥P－ABCD存在一个内切球，则内切球的表面积为(　　) A．4π B．π C. D. 4．(2023·湖北多校联考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　　) A. B. C. D. 5．(2023·张掖模拟)图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥M－ABC，如图2，若二面角M－AC－B的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为(　　) A.a2 B．4πa2 C.a2 D.a2 6．(多选)(2023·阳泉模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB1＝BC1＝CA1＝4.若点O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距离都相等，则(　　) A．BB1⊥平面ABC B．AB＝AA1 C．平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为4π D．球O的表面积为24π 7．(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　) A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 8.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为________． 9．(2023·开封模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为________． 10.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．若AB＝12，则该模型中最小球的半径为____________． 参考答案 1．B　2.C　3.D　4.B 5．C　[如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF. 因为MA＝MC，所以ME⊥AC.易知EF∥BC，因为BC⊥AC， 所以EF⊥AC， 所以∠MEF＝. 过点E作OE⊥平面MAC，过点F作OF⊥平面ABC，OE∩OF＝O，连接OA，易知E，F两点分别是△MAC和△ABC的外心， 所以点O是三棱锥M－ABC的外接球的球心．因为MA＝MC＝a， 所以AC＝BC＝a，AB＝2a， 所以EF＝a， 因为∠MEF＝，∠MEO＝， 所以∠OEF＝，所以OF＝EF×tan ＝×tan ＝a， 又AF＝AB＝a， 所以OA＝＝a， 则三棱锥M－ABC外接球的半径为a，所以外接球的表面积 S＝4πR2＝a2.] 6．AC　[选项A，三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因此A正确； 选项B，因为AB1＝BC1＝CA1＝4，所以AB＝BC＝CA.因为点O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距离都相等，所以三棱柱ABC－A1B1C1的内切球与外接球的球心重合．设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及侧面相切于H，M，连接AH并延长，交BC于N，如图，则AA1＝2r，OM＝OH＝r，由于M为矩形BCC1B1的对角线交点，所以HN＝r，而△ABC为等边三角形，所以HN＝AN＝×AB，所以AB＝2r，所以AB＝AA1，因此B错误； 选项C，由AB1＝4，可知BB＋AB2＝4r2＋12r2＝16r2＝16，解得r＝1(负值舍去)，则AB＝BC＝CA＝2.易得△A1B1C1的外接圆的半径r1＝AN＝×AB＝2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2πr1＝4π，因此C正确； 选项D，