1.3 交集与并集 讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1.3 交集与并集 1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系(重点)． 2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法(重点)． 3．会借助Venn图理解集合的交并运算，培养数形结合的思想(难点). 一、知识讲解 知识一：交集与交集的性质 【问题导思】　 已知集合A＝{－1,1,2,3}，B＝{0，－1,1}，C＝{－1,1}． 1．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 【提示】　有　{－1,1}． 2．集合C中的元素与集合A、B有何关系？ 【提示】　集合C中的元素属于A且属于B. 1．交集 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)． (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)Venn图 ①　　　　　　　②　　　　　 ③ 2．交集的性质 (1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩＝. 知识二：并集与并集的性质 【问题导思】　 已知集合A＝{－1,2,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,2,4,6}． 1．集合A与B中的公共元素是什么？ 【提示】　－1,6. 2．集合C中的元素与集合A、B有什么关系？ 【提示】　C中的元素属于集合A或属于集合B. 1．并集 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B 的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)． (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． (3)Venn图 ①　　　　　 　②　　　　 　③ 2．并集的性质 (1)A∪B＝B∪A；(2)A⊆A∪B；(3)B⊆A∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪＝A. 知识三：区间 设a，b∈R，且a<b，规定： [a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}， [a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}， (a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R. [a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间； [a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间； a，b叫做相应区间的端点. 二、例题分析 题型一：集合的交集运算 【典例1】(1)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝________. (2)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________. 【思路探究】　(1)利用数轴求集合A、B的公共元素，(2)利用定义或Venn图求集合A、B的公共元素． 【自主解答】　(1)如图所示： ∴A∩B＝{x|x>1}∩{x|－1<x<2}＝{x|1<x<2}． (2)法一　A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}． 法二　如图所示： ∴A∩B＝{－1,2}． 【答案】　(1){x|1<x<2}　(2){－1,2} 【类题通法】 求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素： (1)对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解； (2)对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解． 【变式训练】 若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于________． 【解析】　直接在数轴上标出A，B的区间，如图所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}． 【答案】　{x|－2≤x<－1} 题型二 ：集合的并集运算 【典例2】设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B. 【思路探究】　利用交集的定义，可以得到两个含有p，q的方程，并解出它们，可以进一步求出集合A，B，在求并集时，必须注意并集中元素应该满足互异性． 【自主解答】　∵A∩B＝{}，∴∈A，∈B. 将分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0中， 联立得方程组 解得 ∴A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{－4，}， B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{，}， ∴A∪B＝{－4，，}． 【类题通法】 1．解答本题关键是确定出集合A，B中的元素． 2．求集合的并集时，若集合是用列举法给出的，可直接利用并集的定义求解，需特别注意相同元素只能按一个书写；若集合是用描述法表示的无限集，求解时可借助数轴完成，需特别注意界点的虚实． 【变式训练】 设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B. 【解】　∵|a＋1|＝2，∴a＝1或a＝－3. 当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3，由集合中元素的互异性知a≠1. 当a＝－3时，集合B＝