2024届高三数学二轮复习微重点突破练2：函数的公切线问题

微重点突破练2 函数的公切线问题 1．已知直线l为曲线y＝x＋1＋ln x在A(1,2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于(　　) A．0 B．－4 C．4 D．0或4 2．(2023·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则m＋n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cos x－1与直线l：y＝0，则(　　) A．l与C1，C2均相切 B．l与C1，C2均不相切 C．l与C1相切，l与C2不相切 D．l与C1不相切，l与C2相切 4．对于三次函数f(x)，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线y＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则f′(2)等于(　　) A．－34 B．－14 C．－4 D．14 5．与曲线f(x)＝x3－x和y＝x2＋均相切的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)＝x2＋2ax－2b与g(x)＝3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为(　　) A. B. C. D. 7．(2023·嘉兴模拟)已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 8．已知曲线C1：y＝ex＋a和曲线C2：y＝ln(x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的最大值为________． 9．请你举出与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：________. 10．若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是________． 参考答案 1．C　2.B　3.A　4.B 5．C　[由f′(x)＝3x2－1， 所以y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x－x1) ＝(3x－1)(x－x1)， 整理得y＝(3x－1)x－2x. 设g(x)＝x2＋， 直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g′(x)＝2x， 所以切线方程为 y－＝2x2(x－x2)， 整理得y＝2x2x－x＋， 则(*) 整理得2－2x－ ＝x－2x－x ＝(9x－8x1－6)＝0， 当9x－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1＝0也满足方程，故x1有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．] 6．A　[设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为f(x)＝x2＋2ax－2b， g(x)＝3a2·ln x， 所以f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， 因为直线l与f(x)，g(x)都相切， 所以x1＋2a＝＝3a， 解得x1＝x2＝a， 则两切点重合，即f(a)＝g(a)， a2＋2a2－2b＝3a2·ln a， 2b＝a2－3a2·ln a， 设h(a)＝a2－3a2·ln a(a>0)， 则h′(a)＝2a－6aln a＝2a(1－3ln a)， 当0<a<时，h′(a)>0，h(a)单调递增； 当a>时，h′(a)<0，h(a)单调递减， 则h(a)max＝h ＝－3·＝， 因为当a→＋∞时，h(a)→－∞， 所以2b≤，即b≤，所以实数b的取值范围为.] 7．2　8. 9．y＝x2＋2x(答案不唯一) 解析　由题意得f′(x)＝2e2x， 故f′(0)＝2e0＝2， 故函数f(x)＝e2x－1在原点(0,0)处的切线方程为y＝2x； 故可考虑如函数g(x)＝ax2＋bx的形式， 此时g′(x)＝2ax＋b，故g′(0)＝b＝2， 取a＝1，此时g(x)＝x2＋2x. 10．(－∞，1) 解析　设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则过A，B的切线分别为y＝x＋ln x1－1，y＝2x2x－x， 则有 由ln x1－1＝－x得x1＝， 代入＋a＝2x2得a＝2x2－， 依题意知y＝a与y＝2x－有两个不同的交点， 令φ(x)＝2x－， ∵φ′(x)＝2－2x， 令φ′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ∴φ(x)max＝φ(1)＝1， 又x→－∞时，φ(x)→－∞； x→＋∞时，φ(x)→－∞， 故a<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$