专题04 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题04 实数 【考点1】无理数． 【考点2】算术平方根． 【考点3】平方根． 【考点4】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝 【考点5】立方根． 【考点6】估算无理数的大小．菁优 【考点7】实数的性质． 【考点8】实数与数轴． 【考点9】实数的运算； 【考点10】二次根式的定义． 【考点11】二次根式有意义的条件． 【考点12】二次根式的性质与化简． 【考点13】最简二次根式．菁 【考点14】同类二次根式． 【考点15】二次根式的乘除法． 【考点16】分母有理化． 【考点17】二次根式的加减法；实数的性质 【考点18】二次根式的混合运算 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点5：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点6：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点7： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点8：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点9：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点10：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识点11：二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号． 如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 1.的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数 提示 有最小值，为0 2.的性质 符号语言 应用 （1） 正用： （2） 逆用：若a≥0，则 提示 逆用可以再实数范围内分解因式：如 3.的性质 符号语言 a（a＞0） 0（a=0) -a(a＜0） 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用 （1） 正用： （2） 逆用： 知识点12： 二次根式的乘除法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘