专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题 目 录 01 倍长定比分线模型 2 02 倍角定理 3 03 角平分线模型 4 04 隐圆问题 6 05 正切比值与和差问题 7 06 四边形定值和最值 8 07 边角特殊，构建坐标系 10 08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 12 09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 13 10 三角形中的几何计算 17 11 三角形的形状判定 18 01 倍长定比分线模型 1．（2023·四川成都·统考一模）在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， . 2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角的对边分别为，且满足____． (1)求； (2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分． 3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ． (1)求C； (2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值． 4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．    (1)求边、的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 02 倍角定理 5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题． 在锐角中，角所对的边分别为，且________． (1)证明：； (2)求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的取值范围． 7．（2023·湖南·高三校联考期末）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 03 角平分线模型 8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，已知． (1)求角和角之间的等式关系； (2)若，为的角平分线，且，的面积为，求的长． 9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且 (1)求角A的值； (2)若，BC边上的中线长为1，为角A的角平分线，求的长． 10．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 11．（2023•甲卷）在中，，，，为上一点，为的平分线，则　　． 12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，． (1)求边b的长； (2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长． 04 隐圆问题 14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为 . 15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 . 16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的 “阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹”，设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，的一个阿氏圆上，且，的面积为，则 . 17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角