2024年中考数学专题复习：隐圆模型

中考数学几何模型：隐圆模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 【点睛1】触发隐圆模型的类型 （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点 （1）求CM最小值与最大值 （2）求线段AB扫过的面积 （3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM1最小，CM3最大 ②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 变式练习>>> 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． 【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2. 例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________． 【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案为4. 变式练习>>> 2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 答案为8. 【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可． 例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动