2024届高三数学二轮复习微重点突破练4：平面向量数量积的最值与范围问题

微重点突破练4 平面向量数量积的最值与范围问题 1．(2023·咸阳模拟)已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B．4 C. D. 2．(2023·辽宁省名校联盟联考)已知单位向量a，b，若对任意实数x，≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 3．(2023·成都模拟)如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．[1,2] D．[0,2] 4．(2023·北京模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D．4 5．(2023·深圳模拟)已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 6．在四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且||＝1，||＝2，若·>0，则||的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7．(多选)(2023·南通模拟)平面向量a，b满足a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|的取值可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 8．(多选)(2023·岳阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B．λ－μ的最大值为 C.·的最大值为2 D．λ＋μ的最大值为1＋ 9．(2023·安康模拟)在△ABC中，CA＝CB＝2，D为AC的中点，则·的取值范围是____________． 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是______，最大值是______． 参考答案 1．A　2.B　3.C　4.C 5．C　[如图所示，圆O是△ABC的外接圆，且A＝，所以OB⊥OC， 又＝－，所以·＝ ·－·＝－· ＝－cos〈，〉， 故当，反向共线时，·最大， 所以(·)max＝1.] 6．A　[因为＝＋＋，＝＋＋， 又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以2＝＋， 又因为0<·≤1×2＝2， 所以4||2＝2＋2＋2·>1＋4＝5， 且4||2＝2＋2＋2·≤1＋4＋2×2＝9， 所以4||2∈(5,9]， 即||∈.] 7．ABC　[设向量a，b的夹角为θ， ∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3， ∴a2－4＝a·b＝3|a|cos θ， ∴3cos θ＝＝|a|－，且a≠0，∵0≤θ≤π， ∴－1≤cos θ≤1，即－3≤|a|－≤3，∵|a|>0，∴解得1≤|a|≤4.] 8．ABD　[以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系， 则A(－1，－1)，B(1，－1)，D(－1,1)， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)， 则＝(1＋cos θ，1＋sin θ)，＝(2,0)，＝(－2,2)，＝(0,2)， 所以·＝2(1＋cos θ)， 所以当θ＝0时，·的最大值为4，A正确； ·＝－2(1＋cos θ)＋2(1＋sin θ)＝2(sin θ－cos θ)＝2sin， 所以当θ＝时，·的最大值为2，C错误； 由＝λ＋μ知 (1＋cos θ，1＋sin θ)＝λ(2,0)＋μ(0,2)， 所以得 则λ－μ＝(cos θ－sin θ) ＝cos，所以当θ＝时， λ－μ的最大值为，B正确； λ＋μ＝1＋(cos θ＋sin θ) ＝1＋sin，所以当θ＝时，λ＋μ的最大值为1＋，D正确．] 9．(－1,3) 10．6　2 解析　∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|＝4， 且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|＝2|b|＝6， ∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时等号成立． 此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6. ∵ ≤ ＝＝， ∴|2a＋b|＋|2a－b|≤2， 当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时等号成立， ∴|2a＋b|＋|2a－b|的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$