第05讲 函数及其表示知识清单-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第三章 函数的概念与基本初等函数 第05讲 函数及其表示 【必备知识】 1、函数的概念： （1）函数定义：①非空数集②对任意性③对唯一性 （2）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （3）函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 特别提醒：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线； ④ 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 2、分段函数． 特别提醒：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．对于压轴小题中，一般利用数形结合法。 3、求函数的表达式的方法（注意函数的定义域） （1）简单函数复合函数简单函数：对于形如的函数解析式，令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，得到的解析式，要注意新元的取值范围． 如：已知求； 已知，求； （2）待定系数法（明确函数类型）先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数． 如：已知且是一次函数，求。 （3）配凑法 ：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式． 如：已知，求； （4）解方程组法： 已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出． 如：已知，求； 特别提醒：由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域． 4、函数的定义域 （1）具体函数的定义域：①分式形式分母不为0；②偶次根式的被开方数不少于0；③0的0次幂无意义；④对数的真数大于0；⑤对数与指数的底数大于0且不为1；⑥正切函数；⑦对于实际问题要考虑函数解析式有意义之外，还要使实际问题有意义。 如：函数的定义域是_______ （2）抽象函数定义域。 简单函数复合函数简单函数 特别提醒：①求定义域时对于函数的解析式先不要化简； ②求定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式。 如：若函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 考点17　函数的定义域 【常见方法】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 【例17】1、函数的定义域是(　　) A．[－1,0)∪(0,1)　　B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1) 2、已知函数的定义域为(－1,0)，则函数的定义域为(　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 3、若函数的定义域是，则函数的定义域是________________． 考点18　求函数的解析式 【常见方法】求函数解析式常用的方法 (1)法一配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式． (2)法二换元法：对于形如 的函数解析式，令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，得到的解析式，要注意新元的取值范围． (3)法三特定系数法：先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数． (4)法四解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出． 特别提醒：由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是，一定要注明函数的定义域．　　 【例18】1、已知二次函数，求； 2、已知函数满足，求． 3、已知是二次函数，且，则＝____________. 4、已知，则＝________________. 考点19　分段函数 角度1求函数值 【常见方法】分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　　 【例19】1、已知，且，则＝(　　) A．－2　　　 　B．2 C．3 D．－3 2、设，若，则(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 角度2求参数或自变量的值(或范围) 【常见方法】已知函数值(或函数值范围)求自变量的值(或取值范围) (1)先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或取值范