第4讲 均值不等式及其应用-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第4讲　均值不等式及其应用 1、 基础知识 1.均值不等式≤ (1)均值不等式成立的条件:　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.  2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R).  (2)+≥　　　(a,b同号).  (3)ab≤2(a,b∈R). (4)2≤(a,b∈R). 3.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数　　　　称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值.均值不等式可叙述为:　  　.  4.利用均值不等式求最值问题 已知x>0,y>0. (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是　　　(简记:积定和最小).  (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是　　　(简记:和定积最大).  2、 常用结论 1.若x≠0,则≥2,当且仅当x=±1时,等号成立. 2.若ab≠0,则≥2,当且仅当a=±b时,等号成立. 3.若ab>0,x≠0,则≥2,当且仅当x=±时,等号成立. 4.若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立. 3、 分类训练 探究点一　直接用均值不等式 例1 (1)(多选题) 若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是 (　　) A.ab有最小值 B.+有最小值 C.+有最小值4 D.a2+b2有最小值 (2)已知3a=4b=12,则下列不等式不成立的是 (　　) A.a+b>4 B.ab>4 C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<3 [总结反思] 利用均值不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取均值不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小. 变式题 (多选题)下列函数中,最小值为4的是 (　　) A.y=+ B.y=sin x+(0<x<π) C.y=ex+4e-x D.y=+ 探究点二　变形用均值不等式求最值 微点1　配凑法求最值 例2 (1)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是 (　　) A.3 B.2 C.3 D.2 (2)已知x>,则函数y=4x+的最小值为　　　　.  [总结反思] 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用均值不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用均值不等式求解. 微点2　常数代换法求最值 例3 (1)已知a,b>0,2a+b=2,则+的最小值为 (　　) A. B.+1 C. D.2 (2) 若正实数x,y满足4x+y=xy,且x+>a2-3a恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A.[-1,4] B.(-1,4) C.[-4,1] D.(-4,1) [总结反思] 常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,通常先将+转化为+·,再用均值不等式求最值. 微点3　消元法求最值 例4 若正数a,b满足+=1,则+的最小值为 (　　) A.4 B.6 C.9 D.16 ▶ 应用演练 1.【微点1】若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为 (　　) A.2 B.2 C.4 D.2 2.【微点1】已知实数a,b满足ab>0,则-的最大值为 (　　) A.2- B.2+ C.3-2 D.3+2 3.【微点2】若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是 (　　) A.16 B.10 C. D. 4.【微点3】已知正数x,y满足3xy+y2-4=0,则3x+5y的最小值为 (　　) A.1 B.4 C.8 D.16 探究点三　均值不等式的实际应用 例5 如图1-4-1,将宽和长分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形的面积为.(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形的长边所在的直线互相垂直的图形) (1)求y关于x的函数解析式. (2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆的面积最小?并求出其最小值. 图1-4-1 [总结反思] 利用均值不等式解决实际应用题的基本思路: (1)设变量时一般把要求的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,再利用均值不等式求得函数的最值; (3)求最值时注意定义域的限制. 变式题 新能源汽车环保、节能,以电代油,减少排放,既符合我国的国情,也代表了世界汽车产业发展的方向.某公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目,第一年该项目的维修保养费为24万元,以后每年增加8万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设第n年年底,该项目的纯利润为f(n)万元.(纯利