第3讲 等式与不等式-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第3讲　等式与不等式 1、 基础知识 1.等式的性质 (1)如果a=b,则对任意c,都有　　　　　　　　　或　　　　　　　　　.  (2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有　　　　　　或　　　　　　.  2.不等式的性质 性质1:如果a>b,那么　　　　　　　.(加法法则)  性质2:如果a>b,c>0,那么　　　　　　.(乘法法则)  性质3:如果a>b,c<0,那么　　　　.(可乘性)  性质4:如果a>b,b>c,那么　　　　.(不等式的传递性)  性质5:a>b⇔b<a. 推论1:如果a+b>c,那么　　　　　　.(移项法则)  推论2:如果a>b,c>d,那么　　　　　　.(同向可加性)  推广:有限个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向. 推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么　　　　.(正数的同向可乘性)  推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向. 推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).(乘方法则) 推论5:如果a>b>0,那么　　　　.(开方法则)  3.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 4.证明不等式的常用方法 证明不等式的方法 定义 作差法 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法 综合法 利用已知条件和已证明的不等式等,借助不等式的性质和有关定理,经过推理,得到所要证明的结论 反证法 首先假设命题结论不成立,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证 分析法 从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立 2、 常用结论 1.大减小,小减大,大的更大,小的更小,即a<x<b,c<y<d⇒a-d<x-y<b-c. 2.已知a,b,m都是正数,且a>b,则 (1)<<(b-m>0),即真分数越加越大,越减越小; (2)<<(b-m>0),即假分数越加越小,越减越大. 3、 分类训练 探究点一　不等式的性质 例1 (1)[2020·韩城模拟] 若b<a<0,则下列不等式不成立的是 (　　) A.< B.ab>a2 C.|a|+|b|>|a+b| D.> (2)(多选题)[2020·长沙期末] 设a,b为正实数,则下列说法中正确的是 (　　) A.若a2-b2=1,则a-b<1 B.若-=1,则a-b<1 C.若|-|=1,则|a-b|<1 D.若|a3-b3|=1,则|a-b|<1 [总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法: (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件; (2)利用特殊值法排除错误答案; (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较. 变式题 (1)[2020·吉林梅河口期末] 设a>b,c<0,则下列结论中正确的是 (　　) A.< B.> C.|a|c<|b|c D.ac2>bc2 (2)(多选题)[2020·徐州一中月考] 下列四个选项中能推出<的有 (　　) A.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>0 探究点二　比较几个数(式)的大小 例2 (1)已知a>b>c>1,设M=a-,N=a-,P=2-,则M,N,P的大小关系为 (　　) A.P>N>M B.N>M>P C.M>N>P D.P>M>N (2)(多选题)设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是 (　　) A.|a|>|b| B.a2+a<b2+b C.|a-b|+≥2 D.-≤- [总结反思] (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、单调性法、中间量法、特殊值法、综合法、分析法、反证法等. (2)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论. 变式题 (1)设<b<a<1,则 (　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa (2)已知a>0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P与Q的大小关系为　　　　.  探究点三　不等式的综合问题 角度1　不等式在实际问题中的应用 例3 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;  (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得