重庆市第七中学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

重庆市第七中学校2023-2024学年度上期 高2024级12月考试数学试题 （满分150分 考试时间120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ） A. 27种 B. 72种 C. 36种 D. 54种 5. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 8. 已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. ，，若，则 D. 若向量，，则向量在向量上投影向量为 10. 下列说法中，正确是（ ） A. 一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18 B. 若随机变量，且，则． C. 袋中装有除颜色外完全相同4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则 D. 设随机事件A，B，已知，，，则． 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，离心率为，点在上，则（ ） A. 若的面积为，则 B. 若直线的斜率之积为，则 C. 若，则以为直径的圆与无交点 D. 若，则的最大值为 12. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为正方形内一点，当平面时，的最大值为 C. 过点，，平面截正方体所得的截面周长为 D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的图象在处的切线斜率为________. 14. 若，且，则实数值为________. 15. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为，，若线段长度的最小值为，则实数的值为________. 16. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 18. 已知是正项等比数列.，且， （1）求的通项公式； （2）当为递增数列，设，求数列的前项和. 19. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）当，求平面与平面所成二面角的正弦值. 20. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为. （1）当时，求 （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值. 21. 已知抛物线，点为抛物线上一点，过点作轴，垂足为，线段的中点为（当与重合时，认为也与重合），设动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设为曲线上不同的三点，且的重心为，求面积的取值范围. 22. 已知函数.