1.1集合的含义及表示 学案-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1.1 集合的含义及其表示 一、知识讲解 知识一：集合的概念 【问题导思】　 观察下面的语句 (1)高一(2)班的女生； (2)方程x2－2＝0的所有实根； (3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团； (4)高一(2)班的所有帅哥； (5)高一(2)班的好学生． 1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？ 【提示】　女生、实根、代表团． 2．以上语句中为什么有的不能确定？ 【提示】　因帅哥、好学生标准无法确定． 1．元素与集合的概念 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元． 2．元素与集合的符号表示 通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等. 知识二：元素与集合的关系 【问题导思】　 某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？ 【提示】　高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是． 1．元素与集合的关系 (1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作“a属于A”． (2)不属于(符号：∉或)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或aA.读作“a不属于A”． 2．常用数集及符号表示 数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号表示 N N*或N＋ Z Q R 知识三：集合的表示方法 【问题导思】　 观察下列集合 (1)中国的直辖市． (2)12的所有正因数． (3)不等式x－2≥3的解集． (4)所有偶数的集合． 1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？ 【提示】　(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个． 2．设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来． 【提示】　(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N. 1．列举法 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关． 2．描述法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式． 3．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 4．集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集． 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集． 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 . 二、例题精讲 题型一：集合的有关概念 【典例1】　下列每组对象能否构成一个集合？ (1)所有的好人； (2)平面上到原点的距离等于2的点的全体； (3)正三角形的全体； (4)方程x2＝2的实数解； (5)不等式x＋1>0的所有实数解． 【思路探究】　看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的． 【自主解答】　“所有的好人”无确定的标准，因此(1)不能构成集合．而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以(2)(3)(4)(5)能构成集合． 【类题通法】 判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的， 若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性． 【变式训练】 下列对象：①不超过π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________． 【解析】　由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合． 【答案】　①③ 题型二 ：用列举法表示集合 【典例2】用列举法表示下列集合： (1)A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}； (2)B＝{(x，y)|； (3)M＝{x|(x－2)2(x－3)＝0}； (4){自然数中五个最小数的完全平方数}； (5)P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}． 【思路探究】　解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写． 【自主解答】　(1)∵－2≤x≤2，x∈Z， ∴x＝－2，－1,0,1,2， ∴A＝{－2，－1,0,1,2}． (2)解方程组得∴B＝{(3,2)}． (3)∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}． (4){0,1,4,9,16}． (5)∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N， ∴x＝0,1,2，y＝6,5,2， ∴P＝{6,5,2}． 【类题通法】 应用列举法应注意的问题： (1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集