专题01幂函数、指数函数与对数函数全章复习攻略与难点强化训练-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题01幂函数、指数函数与对数函数全章复习攻略与难点强化训练 目录 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【知识点归纳】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 二．幂函数的图象 【知识点归纳】 三．幂函数的性质 【知识点归纳】 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【知识点归纳】 1、幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 2、幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数：y＝ax 底数 指数 幂值 幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值 3、五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 4、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． （3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． （4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． 五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【知识点归纳】 指数函数的解析式、定义、定义域、值域 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝ax（a＞0，且a≠1） 3、理解指数函数定义，需注意的几个问题： ①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R． ②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 六．指数函数的图象与性质 【知识点的认识】 1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，