精品解析：江苏省苏南八校2023-2024学年高一（创优班）上学期12月联考数学试卷

2026届高一年级联考数学（创新班） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A 若且，则 B. C. 若，且，则 D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 4. 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A B. C. D. 5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分 9. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　） A. P和R是互斥事件 B. P和Q是对立事件 C. Q和R是对立事件 D. Q和R是互斥事件，但不是对立事件 11. 在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面MPN B. 若，则平面MPN C. 若平面MPQ，则 D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为_____________. 14. 已知正三棱柱中，，，点为中点，则异面直线 与所成角的余弦值为_______. 15. ________ . 16. 已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数是纯虚数，是实数. （1）求； （2）若，求. 18. 全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为: （1）求的值以及这100名居民问卷评分的中位数； （2）若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率. 19. 在中，点在边上异于，且在之间. （1）若的平分线交于点，求的最小值； （2）若，求面积的最小值. 20. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （2）在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 21. 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 （1）若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧中点时，求的值； （ii）求的取值范围； （2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围． 第1