上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级上学期 12月月考数学试卷 2023.12 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.过点且与直线平行的直线的方程为______. 2.在正方体中，与平面所成角的大小为______. 3.以为直径端点的圆的标准方程为______. 4.若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为______. 5.在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则______. 6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的表面积为______. 7.已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______. 8.过点且与直线的夹角大小为的直线的一般方程为______. 9.已知异面直线所成角的大小为，若过空间一点有且仅有两条直线与所成角的大小均为，则的取值范围是______. 10.已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值为______. 11.已知点，是直线上一点，单位向量是的一个法向量，设是平面上的动点，且满足。若，则实数的取值范围是______. 12.在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆，并将这两个圆内部涂成红色，过原点画一条斜率为的直线，沿着将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则的取值集合为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2023个 D.4046个 14.已知均为实数，且不同时为零，不同时为零，则“”是“关于的方程组有无数组解”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 15.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 16.若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知常数，设直线，直线 （1）若，求的值 （2）若与平行，求与的距离 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点 （1）求证：的面积为定值 （2）设直线与圆交于两点。若，求圆的方程 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且 （1）求二面角的大小 （2）在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论。 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，在三棱锥中，为的中点，底面 （1）求证：平面 （2）若，求点到平面的距离 （3）若点在平面上的投影恰好是的重心，求线段的长。 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为。如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且 （1）求曲线的方程 （2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； （3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由。 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级上学期 12月月考数学试卷 2023.12 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.过点且与直线平行的直线的方程为______. 【答案】 【解析】设直线方程为，将点代入，解得， 则所求直线方程为 2.在正方体中，与平面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】由题意知与平面所成角为 3.以为直径端点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】由题意知圆心为，