专题6-1 直线与方程14题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 6.1直线与方程归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】倾斜角最值范围 · 【题型二】函数型倾斜角最值 · 【题型三】斜率型数形结合 · 【题型四】相交点型斜率范围 · 【题型五】单参旋转型直线 · 【题型六】双参数旋转型直线 · 【题型七】 直线截距式应用 · 【题型八】 数形结合：两点距离公式 · 【题型九】 数形结合：光学性质 · 【题型十】 动点型点到直线（曲线）距离 · 【题型十一】直线方程系 · 【题型十二】直线平行型最值 · 【题型十三】直线垂直型最值 · 【题型十四】将军饮马型最值 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 1．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 3．几种距离公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝. 4．斜率与倾斜角的关系： 由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大； ②当α＝时，斜率不存在，但直线存在； ③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大． 5．两条直线的位置关系 (1)斜截式判断法： ①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2： (ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. (2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有： ①l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 6．直线系方程： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 7．直线的对称问题： (1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组； (2)线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点； ③两点定线即可. (3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变. (4）则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂. 8．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论斜率存在性； (2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过原点(过原点的直线x，y轴截距均为0)． 注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零． 9.一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1. 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2. 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3. 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4. 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 热点考题归纳 【题型一】倾斜角范围 【典例分析】 1.（2022秋·浙江绍兴·高三校考）若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A