6.3.5　平面向量数量积的坐标表示-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 知识点归纳 一、向量数量积的坐标表示 向量数量积的坐标表示 1. 语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2. 坐标表示：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ . 提示：公式a·b＝x1x2＋y1y2的意义是使得用向量解决平面解析几何问题和代数问题成为可能，很好地体现了数形结合思想. 二、平面向量坐标表示的几个公式 1. 向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝ ，|a|＝. 2.两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝ 3.两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. 4.向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔ . 提示：(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；(2)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0. 题型演练 题型一　平面向量数量积的坐标表示 例1 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 小结　1.进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系. 2.向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法. 变式1 已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 题型二　计算平面向量的模 例2 已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝(　　) A.2 B. C.10 D.5 小结　向量模的问题的解题策略 (1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝，求模时，勿忘记开平方. 变式2 (1)已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________. 题型三　平面向量的夹角与垂直 例3 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2). (1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 小结　1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|＝计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos θ＝求夹角余弦值. (4)求角.由向量夹角的范围及cos θ的值求θ. 2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决. 变式3 已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 总结 1.重要思想与方法 (1)应用数量积的坐标表示可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题. (2)利用数量积的坐标表示体现了转化与化归的思想方法. 2.易错易混点提醒 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知平面向量 ,若ABC是直角三角形，则k的取值是（    ） A．2 B．-2 C．2或7 D．2或5 2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C． D．3 4．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知向量，则向量在上的投影向量的模等于（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）设向量，则（    ） A． B． C．