专题14 空间几何体的折叠及多面体的问题-高中数学高考备考二轮复习优化提优专题训练

专题14 空间几何体的折叠及多面体的问题 1、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　． 2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 3、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ． 4、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 5、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 题组一、 几何体的多边形问题 1-1、（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若平面与平面的交线为，则AC//l C．三棱柱的外接球的表面积为 D．当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为 1-2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（    ） A． B． C． D． 1-3、（2021·全国高三专题练习（文））碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）． A．12 B．25 C．30 D．36 1-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 题组二、空间几何体的折叠问题 2-1、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）（多选题）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．面积的最大值为 C．当为锐角时，存在某个位置，使得 D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 2-2、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（    ） A． B． C． D． 2-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为的矩形纸，，分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体，则（ ） A．在该多面体中， B．该多面体是三棱锥 C．在该多面体中，平面平面 D．该多面体的体积为 2-4、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ） A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM B．若，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM C．若且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为 题组三、运用空间向量解决空间几何体的折叠问题 3-1、（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 3-2、（202