四川省成都市2024届高三第一次诊断性检测理科数学试题

成都市2021级高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，只将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.二项式的展开式中x的系数为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）15 2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为1～2000，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为 （A）52 （B）82 （C）162 （D）252 3.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为 （A） （B）1 （C） （D）i 4.若数列满足，，则 （A）6 （B）14 （C）22 （D）37 5.已知向量，，则 （A） （B） （C） （D） 6.若实数x，y满足，则的最小值为 （A）0 （B） （C） （D）1 7.已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为 （A） （B） （C） （D） 8.已知平面，，，则是的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 9.若，，，则 （A） （B） （C） （D） 10.已知，且，则 （A） （B） （C） （D）或 11.若，恒成立，则实数a的最大值为 （A）e （B）2 （C）1 （D） 12.已知圆经过椭圆的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，，则椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知集合，，则________. 14.曲线在点处的切线方程为________. 15.记为等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为________. 16.已知，底面半径的圆锥内接于球O，则经过S和中点的平面截球O所得截面面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 如图，正四棱柱中，M为的中点，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 18.（本小题满分12分） 某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下： 男生 女生 总计 参加篮球模块课程人数 60 20 80 参加羽毛球模块课程人数 40 80 120 总计 100 100 200 （Ⅰ）根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关； （Ⅱ）根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，记这两人中来自篮球模块化课程的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 19.（本小题满分12分） 已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. （Ⅰ）求A的值； （Ⅱ）若，求的取值范围. 20.（本小题满分12分） 已知抛物线的焦点为F. （Ⅰ）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以为直径的圆与直线相切； （Ⅱ）若直线交抛物线C于P，Q两点，当的面积为2时，求直线的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数，. （Ⅰ）求函数的单调性； （Ⅱ）当时，求证：. 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（t为参数，）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）当时，求直线的普通方程； （Ⅱ）已知点，若直线交曲线于A