福建省莆田第五中学2023-2024学年高二上学年12月月考数学试卷

莆田第五中学2023-2024上学年高二数学12月月考检测卷 限时： 命题： 审核： 一、单项选择题（共8题，总40分） 1. 复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ） A. B. C. D. 2 3. 若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4题，总20分） 9. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 D. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 已知，则（ ） A. 与均有公共点的直线斜率最大为 B. 与均有公共点的圆的半径最大为4 C. 向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆 D. 向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆 12. 神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船，神舟十七号也于2023年10月26日成功发射，神舟飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G，若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 的周长为 D. 面积的最小值是4 三、填空题（共4题，总20分） 13. 双曲线与椭圆有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为______． 14. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，则______； 15. 已知点、，动点满足直线、的斜率之积为，则的最大值为______． 16. 内接于球四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为______． 四、解答题（17题10分，18-22各12分，总70分） 17. （1）已知直线l的方向向量与直线的方向向量共线且过点，求直线l的方程； （2）求经过点，且圆心在y轴上的圆的标准方程． 18. 在中，为上一点，，且． （1）若，求； （2）若，求． 19. 如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若． （1）求的长； （2）求三棱锥体积． 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． （1）求点M的轨迹方程； （2）设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 21. 如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点. （1）证明：； （2）若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值. 22. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值． 莆田第五中学2023-2024上学年高二数学12月月考检测卷 限时： 命题： 审核： 一、单项选择题（共8题，总40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C