专题12 费马点模型-冲刺2024年中考几何专项复习（全国通用）

费马点模型巩固练习（基础） 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．40° B．30° C．50° D．65° 2．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（　　） A．10 B． C． D． 3．如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝　 　． 4．如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD，已知AB＝3，，且∠BDC＝120°，在△BCD内有一动点P，则PB+PC+PD的最小值为 　 　． 5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　 　． 6．如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时， ①∠BDC＝　 　； ②AD的最小值是 　 　． 7．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D是△ABC的费马点（∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝120°），求AD+BD+CD的值． 8．求 的最小值． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA＝OB，△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得到ON，连接CN，AM，BM． （1）求证：△AMO≌△CNO； （2）若A点坐标为（0，4）； ①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标； ②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由． 10．已知抛物线yx2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′． （1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长； （3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式． 11．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点． （1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 　 　． （2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 　 　． （3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P． 12．“费马点”：到△ABC三个顶点的距离之和为最小值的点，称为“费马点”（Fermat Piont）费马：法国数学家P．Fermat1601﹣1665， （1）在△ABC中，尺规作出“费马点”，保留作图痕迹，并描述P点的所在； （2）论证（或证明）你所作之点的正确性． 13．【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 　 　． 【问题解决】 如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CEcm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据1.7，10.52＝110.25）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 费马点模型巩固练习（基础） 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．40° B．30° C．50° D．65° 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋