广东省六校联盟2023-2024学年高二上学期联考数学试题

六校联盟2023高二联考试题 数学 满分150分，时长120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 已知向量，，且与互相平行，则的值为（ ） A. -2 B. C. D. 4. 已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的短轴长为2 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为 11. 已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（ ） A. 点P到直线l的距离大于1 B. 点P到直线l的距离小于7 C. 当∠PAB最大时， D. 以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为 12. 如图，平面，，，，，，，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 是棱上的动点，则点到的距离的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆：和圆：内切，则______． 14. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 15. 从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 16. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知点、． （1）求线段的垂直平分线的直线方程； （2）若点、到直线的距离相等，求实数的值． 18. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 19. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示及求； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 20. 已知直线经过点，圆：． （1）若为圆上任意一点，求最大值和最小值； （2）若直线与圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 21. 已知四棱锥底面为直角梯形，，，平面， ． （1）若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面； （2）试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知动圆过点，且与圆：内切于点，记动圆圆心的轨迹为．直线与曲线相交于，两点． （1）求的方程； （2）若线段垂直平分线与轴相交于点，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐