专题10幂函数 （4个知识点7种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

专题10幂函数 （4个知识点7种题型） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.幂函数的定义 知识点2.常用幂函数的图像 知识点3.幂函数的性质 知识点4.函数图像平移的规律 【方法二】 实例探索法 题型1.幂函数的定义 题型2.求幂函数的定义域 题型3.求幂函数的表达式 题型4.幂函数的图像 题型5.应用幂函数的性质比大小 题型6.应用幂函数的图像性质解不等式 题型7.图像的平移变换 【方法三】 成果评定法 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.幂函数的定义 幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 知识点2.常用幂函数的图像 五个常用幂函数的图象 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 知识点3.幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 知识点4.函数图像平移的规律 y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移 【方法二】实例探索法 题型1.幂函数的定义 1.给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.求幂函数的定义域 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 3.（2021·上海市川沙中学高一期末）幂函数的定义域为________________. 4.讨论幂函数(a为有理数)的定义域 5.求函数的定义域. 题型3.求幂函数的表达式 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 6．若幂函数的图象过点，则函数的解析式为______________. 7．（2021秋•闵行区期末）若幂函数y＝xa的图像经过点，则此幂函数的表达式为y＝　　． 8.已知是幂函数，求、的值． 题型4.幂函数的图像 8．（2022秋•黄浦区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取、3、﹣3、这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（　　） A．3，，﹣，﹣3 B．﹣3，﹣，，3 C．﹣，3，﹣3， D．3，，﹣3，﹣ 9.幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则________． 10.画出幂函数的大致图像. 11.若幂函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）