专题5.24 二元一次方程与一次函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.24 二元一次方程与一次函数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】用二元一次方程确定一次函数的表达式 1.待定系数法 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法， 叫做待定系数法. 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 特别提醒： 1.利用二元一次方程组求一次函数表达式，关键是找出两对对应值或图像上两个点的坐标. 2.讲求函数表达式中待定字母k，b的值转化为求以k，b为未知数的二元一次方程组的解. 【知识点2】通过一次函数表达式解决实际问题 利用一次函数解决实际问题，关键是分析题目中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的性质解决问题. 一次函数性质的应用主要有两种类型： （1） 给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； （2） 只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的 性质解决问题. 特别提醒： 在解决实际问题时，要用函数的关点看待问题，并将其转化为二元一次方程组解决，提现了方程 思想和转化思想在实际问题中的应用. 【考点目录】 【考点1】两直线交点与二元一次方程的解； 【考点2】图象法解二元一次方程组； 【考点3】求直线围成的面积； 【考点4】求一次函数的表达式 【考点一】两直线交点与二元一次方程的解 【例1】（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． （1）求点的坐标． （2）若点在直线上，且，求点的横坐标． 【答案】（1），,；（2）点的横坐标为或． 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题； （1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （1）解：， 解得：， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，点． 当时，，当时，， ∴,； （2）解：设， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴点的横坐标为或． 【举一反三】 【变式1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）若直线与直线相交于点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了求两直线的交点以及直角坐标系中点的坐标．联立两个一次函数解析式，求得点的坐标，据此即可判断． 解：联立， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P位于第四象限． 故选：D． 【变式2】（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）； 根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标可得答案． 解：∵函数和的图象的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为： 【考点二】图象法解二元一次方程组 【例2】（2022下·七年级单元测试）在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）用图象法解方程组 ； （3）求的面积． 【答案】（1）； ； （2）； （3） 【分析】 （1）根据函数值为零，可得相应自变量的值，可得图象与轴的交点坐标； （2）根据图象的交点坐标是相应方程组的解，可得答案， （3）根据三角形的面积公式，可得答案． （1）解：当时，，解得，即； ，解得，即； （2）可变形为： 和的图象如图，      交点P坐标为： 故方程组的解为是； （3）． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【举一反三】 【变式1】（2020上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点（1