专题5.28 三元一次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.28 三元一次方程（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 特别提醒： （1）三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是一次． （2）三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 特别提醒： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． (2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次 方程组求解． 【知识点2】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (4)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 特别提醒： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 【知识点3】三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 特别提醒： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合 理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【考点目录】 【考点1】三元一次方程组的定义 【考点2】图象法解二元一次方程组 【考点3】求直线围成的面积 【考点一】三元一次方程组的理解 【例1】（2023下·全国·七年级假期作业）判断对错： （1）x+y+z=0是三元一次方程．　                                         （ ） （2）3xy+2z=7是三元一次方程．　                                        （ ） （3）+2y-3z=11是三元一次方程．　                                    （ ） （4）是三元一次方程组．　                                （ ） 【答案】 √ × × √ 【分析】根据三元一次方程的定义可判断（1）（2）（3），根据三元一次方程组的定义可判断（4）即可． 解：（1）x+y+z=0是含三个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程， ∴x+y+z=0是三元一次方程． ∴（1）正确； （2）3xy+2z=7含有三个未知数，含未知数的次数为2的整式方程， ∴3xy+2z=7是三元一次方程不正确． （3）+2y-3z=11分母中含有未知数，不是整式方程，故+2y-3z=11是三元一次方程不正确．　 （4）由三个一次方程组成，含有三个未知数，是三元一次方程组正确．　 故答案为√；×；×；√． 【点拨】本题考查三元一次方程与三元一次方程组的识别，掌握三元一次方程含有三个未知数并且未知数的的项的次数都是一，这样的整式方程叫做三元一次方程，与三元一次方程组共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组整式方程，叫做三元一次方程组，熟悉以上知识是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2023上·全国·八年级专题练习）下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．方程组含有4个未知数，不是三元