2024届高三数学二轮复习强化练20：圆锥曲线的综合问题

强化练20 圆锥曲线的综合问题 突破1　范围、最值问题 1．(2023·凉山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(2,1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的取值范围． 2．(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3)． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 突破2　定点(定直线)问题 1．(2023·荆门模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，两渐近线的夹角为. (1)求双曲线C的方程； (2)当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：x＝my＋2与双曲线C的右支交于M，N两点(异于A2)，直线A1M，A2N相交于点T，证明：点T在定直线上，并求出定直线方程． 2．(2023·嘉兴模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝|AF||BF|. (1)求抛物线C的方程； (2)若点P(4,4)，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点． 突破3　定值问题 1．(2023·西北工大附中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为原点，点P(1,1)在C的渐近线上，△PAO的面积为. (1)求C的方程； (2)过点P作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值． 2．(2023·上饶模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，B为C的上顶点，且△BF1F2的周长为2＋2. (1)求椭圆C的方程； (2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N.求证：＋为定值． 突破4　探究性问题 1．(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切于点N，且|MN|＝4. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为－的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，若存在，求出l′的方程，若不存在，说明理由． 2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过点P(0，m)(m＞0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A，B两点且＝3，·＝3. (1)求双曲线C的方程； (2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 突破1　范围、最值问题 1．解　(1)设椭圆C的半焦距为c>0， 由题意可得 解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时， 则l：x＝0， 所以|PQ|＝2； 当直线l的斜率存在时， 设l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程 消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0， 则Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×(－4) ＝16(3k2＋1)>0， 可得x1＋x2＝－， x1x2＝－， 则|PQ|＝ ＝4， 令t＝∈(0,1]， 则k2＝， 可得|PQ|＝4 ＝2＝2， 因为t∈(0,1]， 所以|PQ|＝2∈(2，4]，综上所述，|PQ|的取值范围为[2，4]． 2．解　(1)由双曲线E的离心率为2，得＝2.① 因为双曲线E过点P(2,3)， 所以－＝1.② 又c2＝a2＋b2，③ 联立①②③式，解得a＝1，b＝，c＝2. 故双曲线E的标准方程为x2－＝1. (2)由双曲线的对称性，知OA＝OC，OB＝OD， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以S四边形ABCD＝4S△OAD.由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为x＝my＋2. 联立消去x， 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0. Δ＝36(m2＋1)>0， 设A(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝， y1y2＝. 因为A，D均在双曲线右支， 所以所以 解得0≤m2<. 所以S△OAD＝×|OF|×|y1－y2| ＝， ＝ ＝. 令＝t， 则m2＝t2－1.所以S△OAD＝＝. 令函数f(t)＝－3t，易得f(t)在区间上单调递减， 所以当t＝1时，(S△OAD)min＝6. 所以四边形ABCD面积的最小值为24. 突破2　定点(定直线)问题 1．(1)解　由题知2a＝2，得a