2024届高三数学二轮复习强化练19：直线与圆锥曲线的位置关系

强化练19 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单项选择题 1．若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一公共点，那么a的值为(　　) A. B. C. D．1 2．已知A，B为双曲线x2－＝1上两点，且线段AB的中点坐标为(－1，－4)，则直线AB的斜率为(　　) A. B. C．－ D．－ 3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A. B. C. D. 4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m等于(　　) A. B. C．－ D．－ 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别是C的左、右焦点，经过点F2且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若△ABF1的面积为64，则双曲线C的实轴长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．16 6．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1,1) B．(－1,2) C．(1,3) D．(－1，－4) 二、多项选择题 7．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F2，直线x－y＋3＝0与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．△ABF2的周长为20 B．△ABF2的面积为 C．线段AB中点的横坐标为－ D．线段AB的长度为 8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，B，且P为AB的中点，则下列说法正确的是(　　) A．若点P的坐标为(m，n)且直线l的斜率存在，则直线l的方程为－nx＝1 B．若点P的坐标为(2,1)，则直线l的斜率为1 C．若离心率e＝，则S△OAB＝2 D．若直线l的斜率不存在，则|AB|＝2 三、填空题 9．已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，则k的取值范围为________________________________________________________________________． 10．(2023·天津)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________． 11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则＝_________. 12．(2023·佛山模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点P，F到l的距离为2，过P的直线与抛物线依次交于A，B两点(点A在P，B两点之间)，则kFA＋kFB＝______；设直线FA交y轴于点M，直线FB交准线l于点N，则＝________. 四、解答题 13．(2023·曲靖模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记线段PQ的中点为M. (1)若M，求直线l的斜率； (2)记A(－1,0)，探究：是否存在直线l，使得|AP|＝|AQ|，若存在，写出满足条件的直线l的一个方程；若不存在，请说明理由． 14．(2023·成都模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点．若椭圆E上存在点N满足＝3，求四边形AOBN的面积． 参考答案 1．C　2.B　3.B　4.C 5．B　[∵e＝＝＝， ∴＝，即b＝a，c＝a， ∴渐近线方程为y＝±x. 由题意不妨设直线l的方程为 x＝－y＋c， 由消去x得3y2－4ay＋4a2＝0，则Δ＝(－4a)2－4×3×4a2＝48a2>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝， ＝|F1F2|·|y1－y2| ＝|F1F2|· ＝＝4a2＝64，解得a＝4，即2a＝8，故双曲线C的实轴长为8.] 6．D　[设O为坐标原点，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则AB的中点M， 可得kAB＝， kOM＝＝， 因为A，B在双曲线上， 则 两式相减得(x－x)－＝0， 所以kAB·kOM＝＝9. 对于A，可得kOM＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8， 联立方程 消去y得72x2－144x＋73＝0， 此时Δ＝(－144)2－4×72×73＝－288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于B，可得kOM＝－2，kAB＝－， 则AB：y＝－x－， 联立方程 消去y得45x2＋90x＋61＝0， 此时Δ＝902－4×45×61＝－2 880<