精品解析：湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023-2024武汉三中高二年级12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ） A. 7 B. 14 C. D. 2. 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ） A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 7 3. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 4. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 5. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（ ） A B. C. D. 6. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（   ）． A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 方程，则下列说法正确是（ ） A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，方程表示圆 D. 当或时，方程表示双曲线 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则使的最大的n为15 C. 若，，则中最大 D. 若，则 11. 如果一双曲线实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. 的最小值为4 D. 的最大值为 12. 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ） A. 有可能为锐角 B. 以为直径的圆与相切 C. 的最小值为32 D. 和面积之和最小值为32 三、填空题 13. 若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为____________. 14. 设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为____________ . 15. 已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的取值范围是______. 16. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为___________. 四、解答题 17. 在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 18. 设是数列的前项和，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 19. 已知直线与双曲线右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：当变化时，点的纵坐标为定值． 20 已知圆C：． （1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程； （2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 21. 已知点F为抛物线E：的焦点，点，， 若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点， 过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C. （1）求证：直线BC过定点； （2）若直线BC所过定点为点Q，，的面积分别为，求的取值范围. 22. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过. （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024武汉三中高二年级12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ） A. 7 B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解. 【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距. 故选：B 2. 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ） A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离. 【详解】由题意可知，,， 则， 所以或， 又因为, 所以， 故选：D. 3. 在等差数列中，，其