导数综合练习-2024届高三数学一轮复习

导数的综合运用 【例1】设函数，． （1） 若函数f(x)在处有极值，求函数f(x)的最大值； （2）是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由已知得：，且函数f(x)在处有极值 ∴，∴∴，∴ 当时，，f(x)单调递增；当时，，f(x)单调递减； ∴函数f(x)的最大值为． （2）由已知得： ①若，则时，∴在上为减函数， ∴在上恒成立； ②若，则时，∴在[0，+∞）上为增函数， ∴，不能使在上恒成立； ③若，则时，， 当时，，∴在上为增函数， 此时，∴不能使在上恒成立； 综上所述，b的取值范围是． 【例2】已知函数，其中. （1）若，求函数的极值； （2）设.若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，定义域为.则 令，解得：（舍去），当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.. （2）已知，若在上恒成立，即在上恒成立.构造函数，则 令 （i）若，可知恒成立.在上单调递增.. ①当，即时，在上恒成立，即在上恒成立. 在上恒成立，满足条件. ②当即时， 存在唯一的，使得.当时，，即 在单调递减.，这与矛盾. （ii）若，由，可得（舍去），.易知在上单调递减. 在上恒成立，即在上恒成立.. 在上单调递减.在上恒成立，这与矛盾. 综上，实数的取值范围为. 【变式探究】 1、已知函数，当和时取得极值． (1)求和的值； (2)若对于任意，恒成立，求的取值范围． 习题：导数的综合应用 1．设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 2．已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 4、已知函数. （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3＋1，求a的取值范围. 5.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； （2）求a的取值范围． 6. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则环． 7. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 8.已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 9. 已知函数和有相同最小值． （1）求a； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 10.已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 11. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 12. 设函数． （1）求的单调区间； （2）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数底数） 2、已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围． 3、已知函数() (1)设函数，求函数的单调区间； (2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$