重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 直接法求最值】 2 【题型2 配凑法求最值】 2 【题型3 常数代换法求最值】 2 【题型4 消元法求最值】 3 【题型5 构造不等式法求最值】 3 【题型6 多次使用基本不等式求最值】 4 【题型7 实际应用中的最值问题】 4 【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 6 基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用. 【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】 1．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. (5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 【知识点2 基本不等式的实际应用】 1．基本不等式的实际应用的解题策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解. 【题型1 直接法求最值】 【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 常数代换法求最值】 【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知，若 ，则 的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 消元法求最值】 【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知，若，则的最小值为 . 【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数，且，则的最小值为 . 【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数满足，，则当取得最小值时， ． 【题型5 构造不等式法求最值】 【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 【变式5-2】（