导数与单调性关系讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的单调性与导数 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 备足：若已知函数单调性，则导数可以取到零 【例1】（1）已知函数，则函数的单调递增区间是__________． 【解析】函数求导可得，当>0，即 (2x-1)(x-2)>0，解得x>2或0<x<，综上所述，结论是：增区间是，故答案为. （2）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）. 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D． （3）若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 【解析】由题意可知f ′(x)＝－(x－2)＋≤0，在x∈(1，＋∞)上恒成立， 即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立， 由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可． （4）已知函数，．讨论函数的单调区间。 【解析】在区间上， ， 当时， 恒成立， 在区间上单调递减； 当时，令得， 在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增. 综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 【变式探究1】 1、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 2、函数的单调增区间为____________． 3、已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4、若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 5、已知函数.讨论函数的单调性. 6、已知函数，，讨论的单调性。 7、设函数()在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线． (1)求、的值； (2)若函数，讨论的单调性． 8、已知函数.讨论的单调性． 9、已知函数，讨论函数的单调性． 习题： 导数与函数的单调性 1、函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 2、函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为 ． 3、函数的单调递增区间是 ． 4、 函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是(　　) 5、.当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 6、函数上是减函数，求实数的取值范围？ 7、函数上是减函数，求实数的取值范围？ 8、函数上是增函数，求实数的取值范围？ 9、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$