专题9.6 随机抽样、样本估计总体-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.6 随机抽样、样本估计总体 目录 题型一： 简单随机抽样 4 题型二： 分层随机抽样 5 题型三： 平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差 6 题型四： 总体百分位数 7 题型五： 频率分布直方图的应用 8 知识点总结 简单随机抽样 (1)特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率相等． (2)常用方法：抽签法和随机数法. (3)适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样本容量较少. 分层随机抽样 (1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小. (3)平均数的计算：各层抽样比乘以各层平均数的和. 统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 用样本估计总体 (1)百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)平均数、中位数和众数 ①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)． ②中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)． ③众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． (3)方差或标准差 ①方差：s2＝(xi－)2或－2. ②标准差：s＝. (4)总体(样本)方差和总体(样本)标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，Yn，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2. 【常用结论与知识拓展】 1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 例题精讲 简单随机抽样 【要点讲解】(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体中的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取． (2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率　　 A． B． C． D． 学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为　　 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．43 B．25 C．32 D．12 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956