专题9.3 随机事件与概率-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.3 随机事件与概率 目录 题型一： 有限样本空间 5 题型二： 随机事件的关系与运算 6 题型三： 古典概型 9 题型四： 相互独立事件判断 11 题型五： 条件概率 13 知识点总结 样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A (或A⊆B) 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B (或AB) 互斥 (互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω， 且A∩B＝∅ 频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 古典概型 (1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 特别地，对任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 显然，性质3是性质6的特殊情况. 事件的相互独立性 (1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立. (2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 条件概率与全概率公式 (1)条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)． (2)条件概率的性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． (3)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 【常用结论与知识拓展】 (1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． (2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． (3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率． (4)若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥． (6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率． (7)计算