专题9.2 二项式定理-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.2 二项式定理 目录 题型一： 求(a＋b)n形式的“特定项” 3 题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 4 题型三： 三项式的展开式 4 题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题 5 题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和 7 知识点总结 二项式定理 二项式 定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0,1,2，…，n) 二项式 系数 各项的系数C(k＝0,1,2，…，n) 二项式系数的性质 (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 杨辉三角的性质 (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数． 例题精讲 求(a＋b)n形式的“特定项” 【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆． 在的展开式中，的系数为 　 　． 若的展开式中共有个有理项，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 “”是“的二项展开式中存在常数项”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为　　 A．28 B． C．45 D． 二项式的展开式中含项的系数是　　 A．6 B． C． D．12 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数　　 A．15 B．54 C．12 D． 的展开式中项的系数是　　 A． B． C． D． 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 已知展开式中的系数为48，则实数　　 A．1 B． C．2 D． 展开式中含的系数是　　 A．28 B． C．84 D． 展开式中的系数为　　 A．56 B． C．64 D． 二项式展开式中的系数为　　 A．120 B．135 C． D． 已知的所有项的系数和为3，则的系数为　　 A．80 B．40 C． D． 三项式的展开式 【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解. 在的展开式中，的系数为　　 A．60 B．15 C．120 D．30 的展开式中，的系数为　　 A． B．60 C． D．120 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有　　 A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 在的展开式中，的系数是　　 A．24 B．32 C．36 D．40 “二项式系数”与“项的系数”的最值问题 【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等并最大. 已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为　　 A． B． C． D． 的展开式中各项系数的最大值为　　 A．112 B．448 C．896 D．1792 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，