专题9.1 计数原理、排列组合-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.1 计数原理、排列组合 目录 题型一： 两个原理的综合应用 3 题型二： 涂色问题 6 题型三： 排列、组合的基本问题 8 题型四： 分堆与分组分配问题 10 题型五： “球”与“盒”模型 11 知识点总结 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (1)分类加法计数原理 ①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. (2)分步乘法计数原理 ①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准． 3.分类与分步都是数学思维中的“分解” 策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤． 排列与组合 (1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数 定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，用n！表示．A＝n！，0！＝1 排列数公式(n，m∈N*，m≤n). 连乘式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式A＝ (3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (4)组合数 定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 两个 性质 性质1 C＝C 性质2 C＝C＋C 常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A＝nA＝mA＋A； (n＋1)！－n！＝n·n！； (2)kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C. 例题精讲 两个原理的综合应用 【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析三点：(1)要完成的“一件事”究竟是什么；(2)怎样算是完成；(3)完成的过程中是分类还是分步，或是在完成的过程中要先分类再分步，亦或先分步再分类等；总之，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤严谨完整”. 某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有　　 A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为　　 A． B．27 C． D．6 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有　　 A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为　　 A． B． C． D． 书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有　　 A．22种 B．350种 C．32种 D．20种 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？　　 A．60 B．80 C．100 D．120 五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　 　种． 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 　　种． 如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 　 　　种． 书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 　 　　种不同的插法．（具体数字作答） 用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．