专题9.7 成对数据的统计分析-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.7 成对数据的统计分析 目录 题型一： 依据散点图进行相关性的判断 3 题型二： 一元线性回归模型 5 题型三： 非线性回归模型 8 题型四： 独立性检验的基本原理 14 题型五： 独立性检验的实际应用 16 知识点总结 变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 样本相关系数 (1)r＝. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为y关于x的经验回归方程，其中 (2)残差：观测值减去预测值，称为残差． 列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【常用结论与知识拓展】 1．经验回归直线过点(，)． 2．求时，常用公式＝. 3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误． 例题精讲 依据散点图进行相关性的判断 【要点讲解】依据散点图判断相关性的基本策略：(1)观察点的分布趋势，若点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关；(2)观察点的分布状态(形状)，若点的分布成密集型带状区域且带状区域越“狭窄”，线性相关性越强；反之，线性相关性越弱． 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥千克，小麦总产量为千克，则　　 A．，之间有依赖关系 B．，之间有函数关系 C．是的函数 D．是的函数 调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是　　 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 如图，5个数据，去掉后，下列说法正确的是　　 A．样本相关系数变小 B．残差平方和变大 C．决定系数变大 D．解释变量与响应变量的相关性变弱 下列说法错误的是　　 A．决定系数越大，模型的拟合效果越好 B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位 一元线性回归模型 【要点讲解】(1)线性经验回归方程的重要应用是进行估计． (2)牢记求线性经验回归方程的步骤：第一步，列表；第二步，计算，，iyi，或(xi－)(yi－)，(xi－)2；第三步，代入公式求，再利用＝－求；第四步，写出经验回归方程． 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 6 企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352 （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程； （2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率． 参考数据：，其中， 参考公式：对于一组数据，，2，3，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 1.5 2 3.5 8