重难点突破02 圆锥曲线中的定点、定值问题-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破02 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知椭圆过点；过原点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，分别延长，交椭圆于，两点，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 2．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）若，证明：直线恒过定点． 3．平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直，设直线与，轴的交点分别为，． （1）证明：是一个定点； （2）求的最小值． 4．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由． 5．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标． 6．已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值． 7．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的上顶点为，过的两条直线，分别与交于异于点的，两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 8．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点． 9．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与斜率的乘积为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 10．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点的纵坐标为1，计算的值； （3）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 11．已知抛物线经过点． （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于、两点，直线分别交直线，于点和点，求证：以为直径的圆经过定点． 12．已知：平面内的动点到定点为和定直线距离之比为， （1）求动点的轨迹曲线的方程； （2）若直线与曲线的交点为，，点， 当满足a_____时，求证：b_____． ①； ②； ③直线过定点，并求定点的坐标． ④直线的斜率是定值，并求出定值． 请在①②里选择一个填在处，在③④里选择一个填在处，构成一个命题，在答题卡上陈述你的命题，并证明你的命题． 13．已知双曲线的左右顶点分别为点，，其中，且双曲线过点． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线分别交的左、右支于，两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点． 14．已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． （1）求椭圆的方程； （2）如图，过点的直线交椭圆于，两点，再过点作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 15．抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时． （1）求抛物线的方程； （2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破02 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知椭圆过点；过原点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，分别延长，交椭圆于，两点，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）设椭圆的方程为，，，， 椭圆过点；可得，解得，， 椭圆的标准方程为：； （2）设直线的方程为，，，，，， 由，可得：， △，，， 设直线的方程为，其中，，， 由，可得：， △，，， 设直线的方程为，其中，，， 由，可得：， △，，， ，， ， ， 则， 即， ， 整理得，又，， 直线的方程为，过定点，． 2．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）若，证明：直线恒过定点． 【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则 代入