2024届高三数学二轮复习强化练13：空间向量与距离、探究性问题

强化练13 空间向量与距离、探究性问题 1.已知三棱柱ABC－A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB＝AC＝1. (1)求异面直线AC1与A1B所成的角； (2)设M为A1B的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN⊥平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由． 2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O. (1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； (2)求点A1到平面BCC1B1的距离． 3.(2023·齐齐哈尔模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC＝AD＝PD＝1，AB＝2，E为线段PA上一点，点F在边AB上，且CF⊥BD. (1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积； (2)在线段PA上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 4．(2023·广州模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)证明：l⊥平面PAC； (2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解　因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面A1B1C1，即AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又∠BAC＝90°，所以∠B1A1C1＝90°，即A1B1⊥A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1两两垂直， 如图，以A1为原点，以A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系， 因为AA1＝AB＝AC＝1， 所以A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)， A(0,0,1)，B(1,0,1)，C(0,1,1)， (1)＝(0,1，－1)，＝(1,0,1)， |cos〈，〉|＝＝＝， 所以异面直线AC1与A1B所成的角为60°. (2)存在． 假设在平面ABC的边上或内部存在一点N(x，y,1)，因为M为A1B的中点，＝(1,0,1)， 所以M， 所以＝， 又＝(0,1，－1)， ＝(－1,1，－1)， 则⇒ 所以N， 且＝，所以N是BC的中点． 故存在点N，N为BC的中点，满足条件． 2．解　(1)存在． ∵点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O，故A1O⊥平面ABC， 连接OC，由题意知△ABC为正三角形，故OC⊥AB， 以O为坐标原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，A1， C，B(－2,0,0)， B1，C1， 设＝λ，＝， 可得D， ∴＝， ＝， 假设在棱BB1(含端点)上存在一点D使A1D⊥AC1，则⊥， ∴4＋2＝0， 解得λ＝， 则BD＝BB1＝. (2)由(1)知＝， ＝，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 ∴ 令x＝，则z＝1，y＝－1， 则n＝， 又＝， 则点A1到平面BCC1B1的距离 d＝＝＝，即点A1到平面BCC1B1的距离为. 3．解　(1)由题意可得DA，DC，DP两两垂直， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∴A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)， P(0,0,1)，E， ∴＝(－1，－1,0)，＝(0，－1,1)， ＝. 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则 不妨令y＝1，则x＝－1，z＝1， 则m＝(－1,1,1)． 设点E到平面PBC的距离为d， 则d＝＝＝， 又∵BC＝PC＝，PB＝， ∴△PBC的面积为. ∴四面体BCEP的体积为 ××＝. (2)存在．设点F的坐标为， ∴＝，＝. ∵CF⊥BD，即·＝0， 则1×1＋2×(t－1)＝0， 解得t＝，∴F， ∴＝. 设＝λ＝，λ∈[0,1]， ∴＝＋＝. 设平面PFC的法向量为n＝(a，b，c)， ∴ 即 不妨令a＝1，则b＝2，c＝2， 则n＝(1,2,2)， ∴n·＝λ－1， ∴|cos〈，n〉| ＝＝， ∵EF与平面PFC所成角的余弦值是，正弦值为＝. ∴＝， 整理得20λ2＋8λ－1＝0， 解得λ＝或λ＝－(舍去)． ∴存在满足条件的点E，且AE＝. 4．(1)证明　∵E，F分别是PC，PB的中点， ∴BC∥EF，又EF⊂平面AEF，BC⊄平面EFA， ∴BC∥平面AEF，又BC⊂平面ABC， 平面AE