专题8.5 双曲线-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题8.5 双曲线 目录 题型一： 双曲线的定义 4 题型二： 双曲线的标准方程 5 题型三： 双曲线的焦点三角形 6 题型四： 双曲线的渐近线 7 题型五： 双曲线的离心率 8 题型六： 直线与双曲线的位置关系 12 知识点总结 双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 双曲线的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，且e∈(1，＋∞) 【常用结论与知识拓展】 1．与双曲线定义及标准方程相关结论 (1)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在. (2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算． (3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. (4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线. (5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性. (6)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0). 2．与双曲线几何性质相关结论 (1)离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔. (2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”. (3)通径长为. (4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2). 例题精讲 双曲线的定义 【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”还是“双曲线的一支”． 已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 动点与点与点满足，则点的轨迹方程为　　　　　　　． 与圆及圆都外切的圆的圆心在　　 A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为　　 A． B． C． D． 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 　　． 已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是　　 A． B． C． D． 双曲线的标准方程 【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算. 写出一个离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程 　　　　　　． 已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 　　　　　　　． 与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． “”是“方程表示的曲线是双曲线”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为　　 A． B． C． D． 若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是　　 A． B． C． D． 与双