专题8.4 椭圆-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题8.4 椭圆 目录 题型一： 椭圆的定义及应用 3 题型二： 椭圆中的最值问题 4 题型三： 椭圆标准方程 5 题型四： 椭圆的焦点三角形 6 题型五： 椭圆的几何性质 7 题型六： 位置关系的判断 9 题型七： 弦长问题 10 题型八： 面积问题 12 知识点总结 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 简单几何性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 离心率 e＝，且e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平 在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在. 【常用结论与知识拓展】 (1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①焦点三角形的周长为2(a＋c)； ②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ； ③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； ④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为. (4)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 ①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|； ②直线AB的斜率k＝－； ③k·kOM＝－. 例题精讲 椭圆的定义及应用 【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点． 若的两个顶点坐标、，的周长为18，则顶点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 已知圆，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 椭圆中的最值问题 设椭圆的左焦点为，下顶点为，点在上，则的最大值为　　 A．1 B． C．3 D． 椭圆上任一点到点的距离的最小值为　　 A． B． C．2 D． 已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 椭圆标准方程 【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程 为　　 A． B． C． D． 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　 A． B． C． D． “，”是“方程表示的曲线为椭圆”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 “”是方程“表示椭圆”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 “”是“方程表示椭圆”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 椭圆的焦点三角形