专题8.2 圆的方程-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题8.2 圆的方程 目录 题型一： 圆的方程 3 题型二： 与圆有关的轨迹问题 5 题型三： 与圆有关的最值问题 7 知识点总结 圆的方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆. (3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝. ①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程； ②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点； ③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标满足条件 点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 【常用结论与知识拓展】 1．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 2.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数. 可用来设圆上的点的坐标． 例题精讲 圆的方程 【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可；而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F. 若圆的半径为2，则实数的值为　　 A． B． C．9 D．8 已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 若圆经过点，，且圆心在直线 上，则圆的方程为　　 A． B． C． D． 若方程表示圆，则的范围是　　 A． B．， C． D．， 经过点，且以为圆心的圆的一般方程为　　 A． B． C． D． 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 圆的圆心和半径分别是　　 A．，3 B．，3 C．，1 D．，1 设，，则以线段为直径的圆的方程是　　 A． B． C． D． 与圆有关的轨迹问题 【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”． 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 圆关于直线对称的图形轨迹方程为　　 A． B． C． D． 点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形． 在平面内，，，为动点，若． （1）求点的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于，，求的长． 与圆有关的最值问题 【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化. (1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的