专题8.1 直线的方程-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题8.1 直线的方程 目录 题型一： 直线倾斜角、斜率大小判断 5 题型二： 直线的倾斜角和斜率关系 7 题型三： 线段公共点 8 题型四： 选择合适的形式确定直线方程 9 题型五： 两条直线的平行与垂直 10 题型六： 两条直线相交 11 题型七： 距离问题 12 题型八： 对称问题 14 题型九： 直线方程的综合应用 15 知识点总结 直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)). 直线的斜率 (1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率． (2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. (3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量. 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 直线方程的五种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 局限性 点斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k为斜率 不垂直于x轴(k存在) 斜截 式 y＝kx＋b k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例 不垂直于x轴(k存在) 两点 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点 不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2) 截距 式 ＋＝1 a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例 不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0) 一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C为系数 任何位置的直线 特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线． 两条直线的特殊位置关系 (1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2. (2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2. 两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 三种距离公式 (1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝. (2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 【常用结论与知识拓展】 1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1； (2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1； (3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0； (4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0. 2．过定点(x0，y0)的直线系方程 过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ为参数). 3．两条直线平行、垂直的充要条件 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则 (1)l1∥l2⇔ (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 4．常见直线系方程 (1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1. (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. (4)过两条已知直线