专题8.6 抛物线-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题8.6 抛物线 目录 题型一： 抛物线的定义 4 题型二： 抛物线的标准方程 5 题型三： 抛物线的焦点弦 7 题型四： 最值问题 8 题型五： 抛物线与直线方程 9 题型六： 弦长、面积问题 11 知识点总结 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 抛物线标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 开口 向右 向左 向上 向下 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 简单 几何 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 原点O(0,0) 离心率 e＝1 【常用结论与知识拓展】 1．抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有： (1)通径的长为2p. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋). (3)x1x2＝，y1y2＝－p2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝. (6)＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 2．抛物线中的最值 P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值. 3．抛物线的切线 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的两条切线l1，l2，l1∩l2＝P.则有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直线x＝－上；(3)PF⊥AB． 4．抛物线中的焦点三角形 如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝(若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋，则S△OAB＝)． 例题精讲 抛物线的定义 【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，再根据“共线”的几何特征进行求解． 若点到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则　　　　　　． 动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，若点恰为线段的中点，则　　　　　　． 已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离． 抛物线的标准方程 【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 准线方程为的抛物线的标准方程是　　 A． B． C． D． 焦点坐标为的抛物线的标准方程是　　 A． B． C． D． 若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为　　 A． B． C． D．12 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 　　　　　　　． 过点，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 　　　　　　． 经过点焦点在轴上的抛物线标准方程． 分别求适合下列条件的方程： （1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程； （2）经过点的抛物线的标准方程． （1）求准线为的抛物线标准方程； （2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为2的双曲线标准方程． 抛物线的焦点弦 【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征