专题7.6 向量法求空间角和距离-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题7.6 向量法求空间角和距离 目录 题型一： 异面直线所成角 2 题型二： 直线与平面所成角 4 题型三： 平面与平面的夹角 7 题型四： 点到平面的距离 11 知识点总结 用空间向量研究距离、夹角问题 分类 图示 计算公式 夹 角 异面直线所成的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ＝ 直线与平面所成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝ 两个平面的夹角 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝ 距 离 点到直线的距离 PQ＝＝(u是直线l的单位方向向量) 点到平面的距离 PQ＝＝ ＝(n是平面α的法向量) 例题精讲 异面直线所成角 【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线所成角的范围即可求得答案． 在长方体中，已知，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是　　 A． B． C． D． 如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于　　 A． B． C． D． 如图所示，在正方体中，为线段上的动点，则下列直线中与直线夹角为定值的直线为　　 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 直线与平面所成角 【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置． 如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，，，，． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值． 如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 如图，在三棱锥中，，平面平面，平面平面，，，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 平面与平面的夹角 【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下： (1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内． (2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标． (3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量． (4)利用夹角公式求得法向量的夹角． (5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角． 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为　　 A． B． C． D． 已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 如图，在四棱锥中，底面是菱形，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值． 如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面，与底面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 点到平面的距离 【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法： ①两点间的距离：设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝； ②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 如图