重难点突破06 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破06 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题 一．选择题（共3小题） 1．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 2．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点形成的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 3．已知正方体中，，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的面积为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共2小题） 4．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则正确的是　　 A． B．平面 C．点、到平面的距离相等 D．若为底面内一点，且，则点的轨迹是线段 5．已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，，则下列说法正确　　 A．当平面时， B．当时，的最小值为 C．若，则的轨迹长度为 D．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为 三．解答题（共10小题） 6．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 7．如图，在三棱锥中，，，． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 8．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到位置，使得平面平面（如图． （1）求二面角的余弦值； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 10．在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在线段上是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．如图甲所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如图乙． （1）证明：； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成仍的余弦值． 12．如图1，已知是直角梯形，，，，、分别为、的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设为的中点． （1）证明：； （2）若为上一点，且，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为． 13．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． （1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； （2）当四棱锥体积最大时，求点到面的距离； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 14．如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的△的位置，构成三棱锥． （1）证明：． （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值． 15．如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿翻折，使点翻折到点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破06 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题 一．选择题（共3小题） 1．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 【解答】解：若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故选：． 2．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点形成的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，延长正三棱台侧棱相交于点，取中点， 中点，连接，，，则有， 所以的延长线必过点且，， 过点作，，则四边形是边长为2的菱形， 如图所示： 在中，，即， 解得，所以， 所以为边长为6等边三角形， 所以，， 所以， 因为是边长为3的等边三角形且为中点， 所以，， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 解得，所以，所以， 由，，，，平面， 可得平面， 又平面，所以， 由，，，，平面， 可得平面， 因为与平面所成角的正切值为， 所以，解得，， 所以点在平面的